给定一批训练样本与若干测试样本，请你手写实现主成分分析 (PCA) 并仅保留第一主成分来压缩-重建数据，最后输出每个测试样本在重建后的均方误差 (MSE)。 1. 输入读取 • train - 二维列表，每行是一个 m 维数值特征向量 • test - 二维列表，维度同上 2. 去均值 (mean-center) 3. 协方差矩阵 (总体方差，ddof=0) 4. 求第一主成分 • 用 numpy.linalg.eigh 得到全部特征对 • 按特征值从大到小选取第一主成分 • 方向标准化规则 —— 若首个非零分量为负，则整体乘以 -1；这样方向唯一 5. 投影-重建 6. 输出 • 对每个测试样本计算 • 结果保留两位小数，使用字符串形式 • 所有测试样本的误差按输入顺序组成 JSON 数组一行输出

问答题

给定一批训练样本与若干测试样本，请你手写实现主成分分析 (PCA) 并仅保留第一主成分来压缩-重建数据，最后输出每个测试样本在重建后的均方误差 (MSE)。

1. 输入读取

• train - 二维列表，每行是一个 m 维数值特征向量

• test - 二维列表，维度同上

2. 去均值 (mean-center)

$X_\text{c} = X - \boldsymbol\mu,\quad<br /><br />\boldsymbol\mu=\text{mean}(X_\text{train})$

3. 协方差矩阵 (总体方差，ddof=0)

$\Sigma = \tfrac1n X_\text{c}^{\!\top}\,X_\text{c}$

4. 求第一主成分

• 用 numpy.linalg.eigh 得到全部特征对 $(\lambda_i,\mathbf{v}_i)$

• 按特征值从大到小选取第一主成分 $\mathbf{v}_{\max}$

• 方向标准化规则 —— 若 $\mathbf{v}_{\max}$ 首个非零分量为负，则整体乘以 -1；这样方向唯一

5. 投影-重建

$z = (x-\boldsymbol\mu)^\top \mathbf{v}{\max},\quad<br /><br />\hat x = \boldsymbol\mu + z\,\mathbf{v}{\max}$

6. 输出

• 对每个测试样本计算

$\text{MSE}(x) = \tfrac1m \sum_{j=1}^m (x_j-\hat x_j)^2$

• 结果保留两位小数，使用字符串形式

• 所有测试样本的误差按输入顺序组成 JSON 数组一行输出

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