给定一个正整数 ，设其十进制表示中出现过的数字集合为 （当且仅当 时 ）。我们按照下面的规则将 划分为三种情绪：
若存在某些 使得 且 ，则称 为开心数，记作 ；
若对所有 均有 ，则称 为沮丧数，记作 ；
若对所有 均有 ，则称 为极棒数，记作 。
特别地，我们认为对任意的正整数 ，均有 。