运动规划中经常使用多项式描述轨迹，请回答以下问题：（1）是上的有界连续可导函数。 \min & \int_{0}^{T}(f''') ^2dt \\ \text{s.t.} & f(0) = s_0, f(T) = s_n \\ & f'(0)=v_0,f'(T)=v_n \\ & f''(0) = a_0, f''(T)=a_n \end{array}" /> 这个带边界条件的泛函，极值问题的解是几次多项式？给出简要证明。（2）结构化道路规划通常会引入frenet坐标系，使用五次多项式分别进行横纵向的采样，结合汽车高低速不同的特性，有哪两种采样形式。（3）在frenet坐标系下，使用五次多项式进行轨迹采样，方程为：，其中，给定初始状态和结束状态： & f(0) = s_0, f(T) = s_n \\ & f'(0)=v_0, f'(T)=v_n \\ & f''(0) = a_0, f''(T)=a_n \end{array}" /> 请写出求解多项式系数的过程。

问答题

运动规划中经常使用多项式描述轨迹，请回答以下问题：

（1） $f(t)$ 是 $(0,T)$ 上的有界连续可导函数。

$\begin{array}{ll} \min & \int_{0}^{T}(f''') ^2dt \\ \text{s.t.} & f(0) = s_0, f(T) = s_n \\ & f'(0)=v_0,f'(T)=v_n \\ & f''(0) = a_0, f''(T)=a_n \end{array}$

这个带边界条件的泛函，极值问题的解是几次多项式？给出简要证明。

（2）结构化道路规划通常会引入frenet坐标系，使用五次多项式分别进行横纵向的采样，结合汽车高低速不同的特性，有哪两种采样形式。

（3）在frenet坐标系下，使用五次多项式进行轨迹采样，方程为：

$f(t)=a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3+a_4t^4+a_5t^5$ ，

其中 $t\in[0,T]$ ，给定初始状态和结束状态：

$\begin{array}{11} & f(0) = s_0, f(T) = s_n \\ & f'(0)=v_0, f'(T)=v_n \\ & f''(0) = a_0, f''(T)=a_n \end{array}$

请写出求解多项式系数的过程。

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