三维空间中有n个点，在激光雷达坐标系O1中每个点记为。该点向平面投影记为，激光雷达发生了旋转和位移之后，运动到坐标系O2 ，在O2对应的平面的投影记为，如下图所示。若对R, t 的估计有偏差，则在O2对应的平面的投影不与重合，两个投影坐标值之差称为重投影误差：最小化重投影误差可以求得激光雷达的旋转和位移。请回答下列问题: （1）请写出点Pi 三维点坐标与投影坐标的关系（2）用李群 T 表示激光雷达的旋转和位移，写出其最小化重投影误差的目标函数；（3）写出第二题中目标函数关于李代数的雅各比矩阵

问答题

三维空间中有n个点，在激光雷达坐标系O₁中每个点记为 $\bf{P}_i = [X_i, Y_i, Z_i ]^\intercal$ 。该点向 $X =1$ 平面投影记为

$\bf{p}^1_i$ ，激光雷达发生了旋转 $R$ 和位移 $t$ 之后，运动到坐标系O_{2 ，}在O₂对应的 $X =1$ 平面的投影记为 $\bf{p}^2_i$ ，如下图所示。

若对R, t 的估计有偏差，则在O₂对应的 $X =1$ 平面的投影 $\hat{\bf{p}^2_i }$ 不与 $\bf{p}^2_i$ 重合，两个投影坐标值之差称为重投影误差：

$\bf{e}_i = \Vert \hat{p^2_i} - p^2_i\Vert^2$

最小化重投影误差可以求得激光雷达的旋转和位移。请回答下列问题:

（1）请写出点P_i三维点坐标与投影坐标的关系

（2）用李群 T 表示激光雷达的旋转和位移，写出其最小化重投影误差的目标函数；

（3）写出第二题中目标函数关于李代数的雅各比矩阵

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